Lei dos senos e cossenos - Ex. Resolvidos-1

1)

Na figura abaixo, calcule o valor da medida x.

Solução:

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º, portanto, o ângulo no vértice C = 180 – (105 + 45) = 30º

Pela lei dos senos tem-se:

x/sen45º = 100/sen30º  →  x/(√2/2) = 100/(1/2) → x = 100.√2

2)

No triângulo abaixo, determine as medidas de x e y, sabendo-se que

Solução:

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º, portanto, o ângulo no vértice C = 180 – (135 + 15) = 30º

Pela lei dos senos tem-se:

x/sen135º = y/sen15º = √2/sen30º

Sabemos que:

1)     sen135º = sen45º = √2/2,

2)     sen15º = sen(45º- 30º) = sen45.cos30 – cos45.sen30 =

= √2/2*√3/2 - √2/2*1/2 = (√6 - √2)/4

Logo:

x/sen135º = √2/sen30º   →  x/(√2/2) = √2/(1/2)  →  x = 2

y/sen15º = √2/sen30º   →  y = √2*sen15º/sen30º  →  y = [√2*(√6 - √2)/4]/(1/2)

→ y = (√12 – 2)/2  →  y = 2(√3 – 1)/2  →  y = (√3 – 1)

3)

Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos CBA = 57° e ACB = 59°. Sabendo que BC mede 30m, calcule, em metros, a distância AB .  (Dado: use as aproximações sen(59°) ≈ 0,87 e sen(64°) ≈ 0,90) 

Solução:

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º, portanto, o ângulo no vértice A = 180 – (57 + 59) = 64º

Aplicando a lei dos senos, tem-se:

BC/sen64º =  AB/sen59º →  AB = BC*sen59º/sen64º = 30*0,87/0,90 ≈ 29

Portanto,  a distância AB = 29 metros

4)  FUVEST

No quadrilátero a seguir, BC = CD = 3 cm, AB = 2 cm, ângulo ADC = 60° e ângulo ABC = 90°.

Qual é a medida, em cm, do perímetro do quadrilátero?

Solução:

O lado AC no triângulo ABC é :  AC = √13

Vamos determinar o segmento AD = x

Aplicando Lei dos Cossenos no vértice D do triângulo ACD:

(√13)² = x² + 3² - 2.x.3.cos60º  →  13 = x² + 9 – 3x →  x² - 3x – 4 = 0  →

(x – 4).(x + 1) = 0 ↔  x = 4, ou x = -1 (x deve ser positivo e diferente de zero).

Portanto, x = 4

Logo,

o perímetro do quadrilátero é igual a:  p = 2 + 3 + 3 + 4 = 12  →  p = 12 cm

5)  FUVEST

Na figura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e BC = 6. Qual é o valor de CD?

Solução:

Primeira opção: (aplicando trigonometria)

cosC = x/3 e

c² = b² + a² -2.a.b.cosC  →  4² = 3² + 6² - 2.3.6. cosC  → cosC = 29/36,

Logo:

x/3 = 29/36  →  x = 29/12

Segunda opção: (aplicando Teorema de Pitágoras)

∆ABD:  4² = y² + (6-x)² →  16 = y² + 36 -12x +x²  → x² + y² = - 20 + 12x

∆ACD:  x² + y² = 9

Portanto, tem-se:   9 = - 20 + 12x →  x = 29/12

6)  FUVEST

Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo ACB intercepta a semicircunferência. Determine o comprimento da corda AD.

Solução:

∆ABC é eqüilátero, logo: m(BAC) = m(ABC) = m(BCA) = 60º

Como CD é bissetriz do ângulo ACB, então m(ACD) = 30º.

∆ACD é triângulo (isósceles) de cujos lados CA = CD = R.

Aplicando a lei dos cossenos temos que:

AD² = CA² + CB² - 2. CA.CB.cos30º  → AD² = R² + R² - 2.R.R.√3/2 →

AD² = 2R² - 2.R².√3/2 = 2R² - R².√3 = R².(2 - √3)  →

 

AD² = R²(2 - √3) → AD = R.√(2-√3)  →  

7)  FUVEST

As páginas de um livro medem 1dm de base e 

dm de altura.  

Se este livro foi parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas seja 60°, determine a medida do ângulo α, formado pelas diagonais das páginas.

Solução:

∆BCD é eqüilátero porque o ângulo D = 60º e os lados DC = BD = 1

Então, o lado BC = 1

∆ABC é isósceles (lados iguais aos diagonais das páginas e de base BC = 1).

Determinando o valor das diagonais, por teorema de Pitágoras:

AC² = 1² + [√(1+√3)]²  = 1 + 1 + √3 = 2 + √3   →  AC = √[2 + √3] = AB

Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC, temos:

BC² = AC² + AB² - 2.AC.AB.cosα

1² =  {√[2 + √3]}² + {√[2 + √3]}² - 2. {√[2 + √3]}. {√[2 + √3]}.cosα

1 = 2.(2 + √3) – 2.( 2 + √3).cosα

Então,

O ângulo α cujo cosseno é √3/2 = 30º  →  α = 30º

8)  FUVEST

Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. Determine o co-seno do maior ângulo de T.

Solução:

O maior ângulo é Â

Aplicando a lei dos cossenos, temos:

6² = 4² + 5² - 2.4.5.cos  →  36 = 16 + 25 – 40.cos  →  - 5 = - 40.cosÂ

cos = 5/40 = 1/8  →  cos = 1/8

9)  

Dado o triângulo ABC e sabendo que o lado a mede 16, o lado b mede 10 e o ângulo formado por estes lados é 60º, qual é o valor do lado c do triângulo?

Solução:

Aplicando a lei dos cossenos em relação ao vértice C:

c² = 10² + 16² - 2.10.16.cos60º  →  c² = 100 + 256 – 160 = 196  →

c² = 196 → c = 14

10)  

Em um triângulo ABC, sabe-se que a=2b e ângulo C=60º. Calcular os outros 2

ângulos.

Solução:

Aplicando a lei dos cossenos em relação ao vértice C, temos:

c² = a² + b² - 2.a.b.cos60  →  c² = 4b² + b² - 4b².1/2 = 3b²  → c = b.√3

Aplicando a lei dos senos, temos:

b/senB = c/sen60 →  b/senB = b√3/(√3/2)  →  1/senB = 2 → senB = 1/2

Logo:

senB = 1/2   ↔  x = 30º

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, então, temos:

60º + 30º + y = 180º  ↔ y = 90º

11)  FUVEST

Em um triangulo ABC o lado AB mede 4√2 e o ângulo C, oposto ao lado AB, mede 45º. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.

Solução:

Desenhando o que foi descrito, temos:

Aplicando a lei dos senos:

Logo:

2.R.sen45º = 4√2

2.R.√2/2 = 4√2   →  R = 4

Assim, o raio da circunferência circunscrita é 4.

12)  

Dois lados de um triângulo medem 6m e 10m e formam entre si um ângulo de 120º. Determinar a medida do terceiro lado.

Vamos fazer o desenho com os dados informados:

Aplicando a Lei dos cossenos:

a² = b² + c² - 2.b.c.cosA  →  x² = 10² + 6² - 2.10.6.cos120º

x² = 100 + 36 -120.(-1/2)

x² = 100 + 36 + 60

x² = 196

x = 14

Portanto, o terceiro lado mede 14 metros.

13)  MACK

Calcule a área do triângulo ABC da figura, sabendo-se que 

Solução:

Aplicando no ∆ACD a Lei dos Cossenos, para determinar o ângulo ACD.

(√21)² = 4² + 5² - 2.4.5.cosC

21 = 16 + 25 – 40.cosC

-20 = - 40.cosC

cosC = 1/2  ↔  C = 60º

No ∆ABC, o ângulo ACB = 180 – 60 = 120º

Logo, o ângulo BAC = 180 – (30 + 120) = 30º

Chegamos à conclusão que o ∆ABC é isósceles, baseado nos ângulos internos. Logo, temos que AC = BC = 4

Neste momento temos todos os dados para calcular a área do ∆ABC e usando a fórmula dada.

a = 4

b = 4

α = 120º

A = (1/2).a.b.senα = (1/2).4.4.sen120º = 8.√3/2 = 4√3  →  A = 4√3 

Portanto, a área do triângulo (ABC) é igual a 4√3.

14)  FUVEST

Calcule o x da figura.

Solução:

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.  Portanto, o ângulo ABC é igual a 180 – (75 + 45) = 60º.

Pela lei dos senos temos que:

x/sen45º = 5/sen60º  →  x = 5.sen45º/sen60º

x = 5.(√2/2)/(√3/2)

x= 5.√2/√3  ↔  (racionalizando)  →  x = (5√6)/3

15)  UNIRIO

Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km e AC = 120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Determine a distância entre B e C, em km.

Solução:

Vamos aplicar a lei dos cossenos para calcular o “x”:

x² = 80² + 120² - 2.80.120.cosA = 6400 + 14400 – 19200.cos60º

x² = 20800 – 19200.1/2

x² = 11200

x  = √11200 = √112.100 = 10.√112 ≈ 10.10,6 = 106

Portanto, x ≈ 106 km

16)  CESGRANRIO

No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. Quanto vale o seno do ângulo B?

Solução:

Aplicando a lei dos senos, temos:

6/sen30º = 8/senB   →    6.senB = 8.1/2  →  senB = 2/3

17)  UNICAMP

A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 60º. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários?

Solução

Aplicando a lei dos cossenos, temos:

x² = 80² + 50² - 2.80.50.cos60º = 8900 – 8000.1/2 = 4900

x² = 4900

x = √4900 = 70   →  x = 70 m

18) 

Na figura abaixo, o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e ângulo CBD= 90°.

Solução:

Como o triângulo ABC é eqüilátero, então o ângulo ABC = 60º.

Logo, o ângulo ABD é 90 + 60 = 150º.

Pela lei dos cossenos, temos:

x² = 3² + 4² - 2.3.4.cos150º = 25 – 24.(-√3/2) = 25 + 12.√3

x² = 25 + 12.√3

x  = √(25 + 12.√3)

19)  UNESP

Dois terrenos, T1 e T2, têm frentes para a rua R e fundos para a rua S, como mostra a figura. O lado BC do terreno T1 mede 30 m e é paralelo ao lado DE do terreno T2. A frente AC do terreno T1 mede 50 m e o fundo BD do terreno T2‚ mede 35 m. Ao lado do terreno T2‚ há um outro terreno, T3, com frente para a rua Z, na forma de um setor circular de centro E e raio ED.

Determine:

a) as medidas do fundo AB do terreno T1 e da frente CE do terreno T2.

b) a medida do lado DE do terreno T2‚ e o perímetro do terreno T3.

Solução:

Fazendo as seguintes considerações:  AB = x e CE = y.

Aplicando a lei dos cossenos, temos que:

Pela lei dos cossenos:

x² = 50² + 30² - 2.50.30.cos120º = 2500 + 900 – 3000.(-1/2) = 4900

x² = 4900

x  = 70 m   →   AB = 70 m

Os triângulos ABC e ADE são semelhantes, portanto:

(50 + y)/50 = (70 + 35)/70  →  (50 + y)/5 = 105/7  →  

50 + y = 5. 15

y = 75 – 50 = 25

y = 25 m  → CE = 25 m

Os triângulos ABC e ADE são semelhantes, portanto:

Os ângulos ACB  e AED são iguais e todos os lados são proporcionais:

DE/BC = EA/CA

DE/30 = (25 + 50)/50 = 75/50 = 15/10

DE/30 = 15/10

DE = 45 m

Como o terreno T3 é um setor circular, temos que:  ED = EF = 45 = raio.

O ângulo DEF = 180 – 120 = 60

Como 60º corresponde a 1/6 da circunferência inteira (360º), logo o comprimento do arco é também 1/6 do comprimento total.

Portanto, arco DF = 1/6. 2.π.45 = 15π

Logo, o perímetro do terreno T3 é igual a soma dos lados DF, ED e EF:

p = 45 + 45 + 15π = 15(6 + π)

p = 15.(6 + π)

20)  UFRJ

O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1 cm e o ângulo α mede 120°.

Determine o raio da circunferência circunscrita.

Solução:
Redesenhando, temos:

Vamos determinar o segmento AB, aplicando a lei dos cossenos:

AB² = 1² + 1² - 2.1.1.cos(120º) = 2 – 2.(-1/2) = 3

AB = √3 cm

O raio da circunferência é a metade da diagonal do quadrado de lado √3 cm.

r = (1/2).d

Por teorema de Pitágoras:

d² = (√3)² +  (√3)²  = 6  → d = √6 cm

Portanto, r = √6/2