EX-01)
Um triângulo ABC possui ângulos B e C
medindo, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medida do lado AB, sabendo que
a medida de AC é 8cm.
Solução:
Como
a incógnita é o lado oposto ao ângulo dado (30º) e foi informado que o lado
oposto ao 45º é 8 cm . Vamos aplicar a lei dos senos, tem-se:
EX-02)
Um triângulo ABC tem lados AB e BC
que medem, respectivamente, 5
cm e 7
cm . Determine a medida do lado AC, sabendo que o ângulo
B mede 60º.
Solução:
Como foram
dados o ângulo (60º) e as dimensões de dois lados AB = 5 cm e BC = 7 cm que formam este ângulo;
podemos aplicar a lei dos cossenos:
(AC)² =
(AB)² + (BC)² - 2.(AB).(BC).cos60º; sendo cos60º = 1/2
Portanto,
x² = 5² + 7² - 2.5.7.1/2 = 25 + 49 – 35 = 39 → x = √39 cm
EX-03)
Um triângulo ABC tem lados AB, AC e
BC que medem, respectivamente, 5
cm , 10
cm e 9
cm . Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.
Solução:
Sabemos que a mediana é o segmento
que parte de um vértice do triângulo e divide o lado oposto em partes iguais.
Temos 2 caminhos:
(1) Aplicar a lei dos cossenos nos triângulos ∆ABC e ∆BCM, ou
(2) Aplicar a lei dos cossenos nos triângulos ∆ABC e ∆ABM
Opção (1): ∆ABC e ∆BCM
(∆ABC): 5² = 9² + 10²
- 2.9.10.cosα → 25 = 81 + 100 – 180.cosα →
-156 = - 180.cosα → cosα = 13/15
(∆BCM): x² = 5² + 9² - 2.5.9.cosα → x² = 25 + 81 – 90.13/15
= 28 ↔ x² = 28
↔ x = 2√7 cm
Se resolvermos pela opção (2),
também, chega-se ao mesmo resultado.
Vejamos:
(∆ABC): 9² = 10² + 5²
- 2.10.5.cosβ → 81 = 125 – 100.cosβ → cosβ = 11/25
(∆ABM): x² = 5² + 5² - 2.5.5cosβ = 50 – 50.11/25 = 28 ↔ x² = 28 ↔ x =
2√7 cm
EX-04)
Um navio, deslocando-se em linha
reta, visa um farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado entre a sua
trajetória e a linha de visada do farol. Após navegar 20 milhas , através de uma
nova visada ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a distância entre o
farol e o navio no instante em que fez a 2ª leitura.
(Use √2 ≈
1,4)
Solução:
Colocando
em desenho o enunciado do problema:
Ponto A: 1ª
leitura
Ponto B: 2ª
leitura
Agora vamos
aplicar a lei dos senos para o triângulo ABC, para calcular o x.
EX-05)
Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30º e os lados que formam cada
um desses ângulos medem 3√3 cm e 5 cm . Calcule a medida da
menor das diagonais desse paralelogramo.
Solução:
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABD:
(BD)²
= (AB)² + (AD)² - 2.(AB).(AD).cos30º → d² = 5² + (3√3)² - 2.5.3√3.√3/2 →
d² = 25
+ 27 – 45 = 7 ↔ d = √7 cm
EX-06)
Na
figura abaixo, o triângulo ABC é um
triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e ângulo CBD= 90°.
Determine a medida do segmento AD
Como o triângulo ABC é
equilátero, então o ângulo ABC é igual a 60º, portanto, o valor do ângulo ABD é
igual a 150º. E o lado AB = 3
cm .
Com estes dados, podemos
aplicar a lei dos cossenos no triângulo ABD.
(AD)² = (AB)² + (BD)² - 2.(AB).(BD).cos150º e cos150º =
- √3/2
Portanto,
x² = 3² + 4² - 2.3.4.(-√3/2) = 9 + 16 + 12√3 = 25 +
12√3 →
EX-07)
Para calcular a distância
entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um
observador que se encontra junto a A afasta-se 20m da margem, na direção da
reta AB, até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto D, a 40m de
C, do qual ainda pode ver as árvores.
Tendo verificado que os
ângulos DCB e BDC medem, respectivamente, cerca de 15° e 120°,
que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a
aproximação √6 = 2,4?
Solução:
Pela
observação da figura desenhada, podemos verificar que podemos aplicar a lei dos
senos no triângulo BCD.
Então,
EX-08)
(Ufpr 2014)
Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade
de 16 km/h
em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a
uma velocidade 6 km/h
em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma
hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que
eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?
Solução:
Fazendo o
desenho conforme o enunciado, tem-se:
Após 1
hora, temos as seguintes distâncias percorridas por cada navio:
NAV-1 = 16 km
NAV-2 = 6 km
A distância
x que separa os navios pode ser calculada pela lei dos cossenos:
(AC)² = (AB)² + (BC)² - 2.(AB).(BC).cos60º
x² = 16² + 6² - 2.16.6.1/2 → x² = 256 + 36 – 96 = 196 → x = 14 km
EX-09)
(Unicamp
2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases
2a e a, respectivamente, e o ângulo CAB= 30°. Portanto, o comprimento do
segmento CE é:
O desenho
dado foi completado com outras informações.
Determinando
a medida dos lados BC e BE dos triângulos ABC e BED respectivamente.
Lei
dos senos no triângulo ABC.
Como os
triângulos ABC e BED são semelhantes (BE) = 1/2*(BC), logo:
Temos todos
os dados do triângulo BCE, para determinar a medida do segmento (CE) = x,
aplicado a lei dos cossenos:
EX-10)
(Unicamp
2013) Um satélite orbita a 6.400
km da superfície da Terra. A figura abaixo representa
uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de
circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado.
Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km .
a) Qual o
comprimento do arco AB indicado na figura?
b) Suponha
que o ponto C da figura seja tal que cos(θ) = 3/4. Determine a distância d
entre o ponto C e o satélite.
Solução:
a) Calculando
o comprimento do arco AB:
No
triângulo retângulo OBS, tem-se:
Portanto, o
ângulo AOB é igual a 2β = 120º. E sabemos que 360º corresponde ao comprimento
da circunferência 2πR=2π6400=12800π.
Como 120º é
1/3 de 360º → O arco AB =
12800π/3
b)
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo OCS, tem-se:
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